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Extremwertaufgaben

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Kleine Geschichte der Extremwertaufgeben

1. Menschliches Handeln orientiert sich oft am Gesichtspunkt der Optimalität. Manch einer geht z. B. in den "nächst besten" Laden, um Zeitaufwand oder Anstrengung möglichst klein zu halten; ein anderer scheut keine Mühe, den billigsten zu finden; und ein dritter kauft gern teuer ein, weil er sich davon den höchsten (Geltungs-)Nutzen verspricht. Welche Bewertungsmaßstäbe man aber auch immer anlegen mag, stets scheint der Mensch bestrebt zu sein, sich schwierige Entscheidungen dadurch zu erleichtern, dass er unter den verschiedenen, ihm gebotenen Möglichkeiten ein Optimum realisiert. Erst dann erscheint ihm sein Verhalten rational, einsichtig, konsensusfähig; er kann es vor sich selbst und anderen rechtfertigen.

2. Optimierungsprobleme haben von alters her auch in der Mathematik eine bedeutende Rolle gespielt und tun es heute noch. Eines der ältesten ist das Problem der Dido, einer phönizischen Prinzessin, die nach der griechischen Mythologie die Stadt Karthago in Nordafrika gegründet hat. Auf ihrer Flucht aus Kleinasien dorthin verschlagen, bat sie die Einwohner um ein Stück Land für sich und ihre Gefährten. Als ihr aber nur soviel gewährt wurde, "wie eine Ochsenhaut umfasst", wusste sie sich zu helfen. Sie schnitt die Haut in schmale Streifen, knotete sie zu einem Band zusammen und legte dieses so, dass es eine möglichst große Fläche umfasste. Sie reichte aus, um darauf die Festung Byrsa zu bauen, aus der sich später Karthago entwickelt hat.
DIDO löste ihr Problem, indem sie die Kreisform wählte, denn die Griechen wussten bereits, dass unter allen umfangsgleichen - griechisch: isoperimetrischen - Kurven der Kreis die größte Fläche umschließt. Einen Beweis dafür aber kannten sie nicht. Dieser konnte erst im vorigen Jahrhundert mit den Mitteln einer weit entwickelten Analysis erbracht werden (die ihr jetzt bald beherrscht). Dagegen kann man sich von der entsprechenden Extremaleigenschaft der Kugel physikalisch leicht selbst überzeugen, wenn man Seifenblasen in die Luft pustet. Weil sich die Seifenhaut auf Grund der Oberflächenspannung so stark wie möglich zusammenzieht, hat offenbar die Kugel unter den Körpern mit vorgegebenem Volumen die kleinste Oberfläche. Hieraus folgt durch eine einfache Überlegung, dass auch umgekehrt die Kugel bei vorgegebener Oberfläche das größte Volumen besitzen muss.

3. Extremalprinzipien sind oft herangezogen worden, um Naturerscheinungen zu "erklären". Beispielsweise hat man im 18. Jahrhundert die Geometrie der Honigwabe, die schon immer die Aufmerksamkeit der Menschen und ihre Bewunderung erregt hat, genauer untersucht und die besondere Gestalt der Bienenzelle darauf zurückgeführt, dass die Bienen ein Minimumproblem lösen: Über einem regelmäßigen Sechseck ein Prisma zu errichten und dieses am hinteren Ende so durch drei Rauten abzuschließen, dass bei vorgegebenem Volumen am wenigsten Wachs verbraucht wird. Als man durch Messung die theoretischen Werte bestätigt fand, führte dies zu einer intensiven Diskussion über die "wahren Ursachen“ dieses Verhaltens. Berühmt ist der Schiedsspruch, den schließlich FONTENELLE in seiner Eigenschaft als Sekretär der Academie francaise fällte. In diesem spricht er den Bienen die Intelligenz eines NEWTON oder LEIBNIZ ab, kommt aber zu dem Schluss, dass sie göttlicher Lenkung Folge leisten, indem sie die höchste Mathematik anwenden (!). Heute weiß man, dass die Form weniger regelmäßig ist, als man damals glaubte, und die Maße keineswegs so genau bestimmt werden können, wie man damals annahm. Aber noch im vorigen Jahrhundert sprach CHARLES DARWIN von der Baukunst der Bienen als dem wunderbarsten aller Instinkte, den die Selektion hervorgebracht habe, und behauptete, die Bienenwabe sei absolut vollkommen in Bezug auf Materialverbrauch und Arbeitsaufwand.

4. Viel bedeutsamer für die Naturwissenschaften ist eine andere Entdeckung geworden, die bereits von HERON im ersten Jahrhundert nach Christus gemacht wurde. HERON lehrte in Alexandria (Nordägypten), dem wissenschaftlichen Zentrum der antiken Welt, und stellte fest, dass ein Lichtstrahl von einem Punkt zum anderen stets den kürzesten Weg nimmt, und zwar auch dann, wenn er auf seinem Weg von einem Spiegel reflektiert wird. HERON folgerte dies aus dem schon damals bekannten Reflexionsgesetz mit Hilfe einer einfachen geometrischen Überlegung. An seine Erkenntnis knüpfte PIERRE FERMAT (1601-1665) an, als er die Erscheinungen der Lichtbrechung untersuchte. Er zeigte, dass die Bahn des Lichtes vor allen anderen dadurch ausgezeichnet ist, dass nicht der Weg, sondern die Zeit minimiert wird, eine Aussage, die offenbar auch im Falle des Reflexionsgesetzes zutrifft. Auf diese Weise gelang es ihm, zwei verschiedene Naturphänomene auf ein gemeinsames Prinzip zurückzuführen, das heute nach ihm benannt wird.

5. Im 18. Jahrhundert erkannte man, dass auch die Bewegung eines Körpers von einem Minimalprinzip beherrscht wird. Es lässt sich, den optischen Verhältnissen nicht unähnlich, als Prinzip des kleinsten "Aufwands" bezeichnen, doch wird der Aufwand hier nicht durch die Zeit, sondern durch eine kompliziertere physikalische Größe gemessen. Sie dient der Natur gewissermaßen als Bewertungsmaßstab, nach dem diejenige Bahn ausgewählt wird, bei der diese Größe den kleinsten Wert annimmt. Es scheint also, als sei sich die Natur bewusst, auf welchem Wege sie am ökonomischsten ihr Ziel erreichen kann. Aber wie auch immer man das Prinzip vom philosophischen Standpunkt aus betrachten mag (die Meinungen darüber gingen im 18. Jahrhundert weit auseinander), so bleibt doch festzustellen, dass es mit seiner Hilfe möglich ist, Kompliziertes und Vielfältiges auf ein Einfaches, Allgemeines zurückzuführen. In diesem Sinne „erklärt“ es die Natur.


6. Mit der Erfindung der Differentialrechnung hatte sich das Problem der Extremwertbestimmung bei (differenzierbaren) Funktionen im Prinzip erledigt. Die Mathematiker wandten sich schwierigeren Optimierungsaufgaben zu: Wie muss ein Bootskörper beschaffen sein, damit sein Wasserwiderstand minimal ist? Wann hat eine Kurve durch vorgegebene Punkte die kleinste Gesamtkrümmung? Welche Gestalt muss man einer Kurve zwischen zwei nicht übereinander liegenden Punkten geben, damit ein auf ihr hinab gleitender Punkt möglichst schnell unten ankommt? Fragestellungen dieser Art haben für die Praxis eine viel größere Bedeutung als die häufig künstlichen Extremwertaufgaben, die die Entwicklung eingeleitet haben; aber sie sind auch viel schwerer zu beantworten.

7. Interessant ist folgende Zitat von MARCUS FABIUS QUINTILIANUS (ca. 30-96 n. Chr.) aus seinem ersten Buch über die Kunst der Rede (de institutione oratoria). "Wer glaubt nicht einem Redner, der behauptet, die Flächeninhalte zweier Gebiete seien gleich, wenn die Umfänge gleich sind? Das ist aber falsch, denn es kommt sehr auf die Gestalt des Landes an, und die Geometer haben Geschichtsschreiber getadelt, die annahmen, die Größe von Inseln sei durch die Dauer der Umschiffung gekennzeichnet. Je vollkommener eine Gestalt ist, umso mehr Raum schließt sie ein. Ist die Umfangslinie ein Kreis - dieser bildet die vollkommenste Gestalt der Ebene - so schließt sie mehr Fläche ein, als wenn sie bei gleichem Umfang ein Quadrat bildet. Das Quadrat schließt mehr Raum ein als das Dreieck, das gleichseitige mehr als ein ungleichseitiges."

 

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